Nghiên cứu điểm kì dị và sự rẽ nhánh Hopf của mô hình Hindmarsh-Rose 3D

Abstract

The paper studies a class of Hindmarsh-Rose 3D model. First, necessary conditions for the parameters of the system are established in order to have a table fixed point which presents the resting state for this model. After that, using the Hopf’s theorem we prove the existence of a Hopf bifurcation, a critical point where a system’s stability switches and a periodic solution arises. More precisely, it is a local bifurcation in which a fixed point of a dynamical system loses stability as a pair of complex conjugate eigenvalues cross the complex plane imaginary axis. Moreover, with suitable assumptions for the dynamical system, a small-amplitude limit cycle branches from the fixed point.

Tóm tắt

Bài báo được thực hiện nhằm nghiên cứu điểm kì dị và sự rẽ nhánh Hopf của một lớp mô hình Hindmarsh-Rose 3D. Đầu tiên, tất cả các điều kiện cần cho các tham số của hệ thống sao cho chỉ có một điểm kì dị ổn định, đại diện cho trạng thái dừng của mô hình này được nghiên cứu. Sau đó, dựa vào định lí Hopf, sự tồn tại của điểm rẽ nhánh Hopf được chứng minyh mà ở đó tính ổn định của hệ thống bị thay đổi và nghiệm tuần hoàn xuất hiện. Chính xác hơn, đó là sự rẽ nhánh địa phương mà tại đó điểm kì dị của hệ động lực mất đi tính ổn định, khi cặp giá trị riêng phức liên hợp đi qua trục ảo của mặt phẳng phức. Hơn nữa, với những giả thiết hợp lí cho hệ động lực, đường tròn giới hạn biên độ nhỏ tách ra từ điểm kì dị.