Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu điều khiển mờ nhiều biến phụ thuộc sử dụng đạo hàm granular

Lê Thanh Tùng * , Trần Thiện Khải , Phạm Lê Bạch Ngọc và Trịnh Tùng

* Tác giả liên hệ (lttung@ctu.edu.vn)

Article Sidebar

Full Text: PDF

Ngày nhận bài: 09-06-2026
Ngày nhận bài sửa: 19-07-2026
Ngày duyệt đăng: 25-08-2026
Ngày xuất bản: 22-08-2026
Title: Optimality conditions for fuzzy optimal control problems of several dependent variables via granular derivatives
DOI: 10.22144/ctujos.2026.205
Lượt xem
40
Downloads
14
Crossref
Scopus
Google Scholar
Europe PMC
Trích dẫn
Tùng, L. T., Khải, T. T., Ngọc, P. L. B., & Tùng, T. . (2026). Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu điều khiển mờ nhiều biến phụ thuộc sử dụng đạo hàm granular. Tạp chí Khoa học Đại học Cần Thơ, 62(KHTN), 290-302. https://doi.org/10.22144/ctujos.2026.205
Số báo
Tập. 62 Số. CĐ Khoa học tự nhiên Đồng bằng sông Cửu Long (2026)
Chuyên mục
Khoa học tự nhiên Đồng bằng sông Cửu Long

Abstract

In this paper, we investigate the necessary and sufficient optimality conditions for the fuzzy optimal control problem with several dependent variables via granular derivatives. By using the directional derivative approach, we first examine the necessary optimality condition. Then, the sufficient condition is established under convex assumptions. To emphasize the significance of the sufficient condition, which has received limited attention in previous fuzzy control optimization studies, a detailed example is provided. Finally, an application model for the fuzzy tracking problem is presented.

Keywords: Convexity, fuzzy optimal control problems, fuzzy tracking problem, granular derivatives, optimality conditions

Tóm tắt

Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về các điều kiện tối ưu cần và đủ cho bài toán tối ưu điều khiển mờ với nhiều biến phụ thuộc sử dụng đạo hàm granular. Trước tiên, điều kiện cần tối ưu dùng cách tiếp cận đạo hàm theo hướng được khảo sát. Tiếp theo, điều kiện đủ tối ưu được thiết lập bằng cách sử dụng các giả thiết lồi. Tính thiết yếu của điều kiện đủ, ít được khảo sát trong các bài báo về tối ưu điều khiển mờ trước đây, được minh họa thông qua một ví dụ chi tiết. Cuối cùng, một mô hình ứng dụng cho bài toán điều khiển mờ theo sát quỹ đạo được trình bày.

Từ khóa: Giả thiết lồi, bài toán tối ưu điều khiển mờ, bài toán điều khiển mờ theo sát quỹ đạo, đạo hàm granular, điều kiện tối ưu

Article Details

Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Tài liệu tham khảo

Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., & Shetty, C. M. (2006). Nonlinear Programming: theory and algorithms. Wiley, NJ. https://doi.org/10.1002/0471787779

Bellman, R. E., & Zadeh, L. A. (1970). Decision-making in a fuzzy environment. Management Science, 17, 141-164. https://doi.org/10.1287/mnsc.17.4.B141

Bohner, M., Girejko, E., Malinowska, A. B., Nguyen, L., Schneider, B., & Truong, T. (2025). Generalized transversality conditions for fuzzy quantum-symmetric variational problems via granular approach. Computational and Applied Mathematics, 44(6), 326. https://doi.org/10.1007/s40314-025-03283-y

Clarke, F. (2013). Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control. Springer, New York.
https://doi.org/10.1007/978-1-4471-4820-3

Dong, N. P., Long, H. V., & Khastan, A. (2020). Optimal control of a fractional order model for granular SEIR epidemic with uncertainty, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 88, 105312. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105312

Fard, O. S., Soolaki, J., & Torres, D. F. (2018). A necessary condition of Pontryagin type for fuzzy fractional optimal controlproblems. Discrete & Continuous Dynamical Systems - S, 11(1), 59–76. https://doi.org/10.3934/dcdss.2018004

Farhadinia, B. (2011). Necessary optimality conditions for fuzzy variational problems. Information Sciences, 181, 1348-1357. https://doi.org/10.1016/j.ins.2010.11.027

Hestenes, M. R. (1966). Calculus of Variations and Optimal Control Theory, Wiley, NJ.

Jacob, N., & Evans, K.P. (2018). Course In Analysis, A-Vol. IV: Fourier Analysis, Ordinary Differential Equations, Calculus of Variations. World Scientific, Singapore. https://doi.org/10.1142/11695

Khatua, D., Maity, K., & Kar, S. (2021). A fuzzy production inventory control model using granular differentiability approach. Soft Computing, 25(4), 2687-2701. https://doi.org/10.1007/s00500-020-05329-1

Le, T. T., Dang, H. T., Tran, T. K., & Pham, L. B. N. (2025). Necessary and sufficient optimality conditions for fuzzy fractional variational problems under granular fuzzy Caputo fractional derivatives. Computational & Applied Mathematics, 44, 172. https://doi.org/10.1007/s40314-025-03118-w

Lewis, F. L., Vrabie, D., & Syrmos, V. L. (2012). Optimal Control. Wiley, NJ. https://doi.org/10.1002/9781118122631

Mangasarian, O. L. (1966). Sufficient conditions for the optimal control of nonlinear systems. SIAM Journal on Control and Optimization, 4(1), 139-152. https://doi.org/10.1137/0304013

Mazandarani, M., Pariz, N., & Kamyad, A. V. (2017). Granular differentiability of fuzzy-number-valued functions. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 26, 310-323. https://doi.org/10.1109/TFUZZ.2017.2659731

Mustafa, A. M., Gong, Z., & Osman, M. (2019). Fuzzy optimal control problem of several variables. Advances in Mathematical Physics, 2019(1), 2182640. https://doi.org/10.1155/2019/2182640

Mustafa, A. M., Gong, Z., & Osman, M. (2021). The solution of fuzzy variational problem and fuzzy optimal control problem under granular differentiability concept. International Journal of Computer Mathematics, 98, 1495-1520. https://doi.org/10.1080/00207160.2020.1823974

Najariyan, M., & Zhao, Y. (2017). Fuzzy fractional quadratic regulator problem under granular fuzzy fractional derivatives. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 26, 2273–2288. https://doi.org/10.1109/TFUZZ.2017.2783895

Piegat, A., & Landowski, M. (2015). Horizontal membership function and examples of its applications. International Journal of Fuzzy Systems, 17, 22-30. https://doi.org/10.1007/s40815-015-0013-8

Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1986). Optimal Control Theory with Economic Applications. Elsevier, Amsterdam.

Son, N. T. K., Long, H. V., & Dong, N. P. (2019). Fuzzy delay differential equations under granular differentiability with applications. Computational & Applied Mathematics, 38, 107. https:// doi.org/10.1007/s40314-019-0881

Truong, T., Bohner, M., Girejko, E., Malinowska, A. B., & Hoa, N.V. (2025). Granular fuzzy calculus on time scales and its applications to fuzzy dynamic equations. Information Sciences, 690, 121547. https://doi.org/10.1016/j.ins.2024.121547

Torres, D. F. M., & Malinowska, A. B. (2012). Introduction to the fractional calculus of variations. World Scientific, Singapore. https://doi.org/10.1142/p871

Treanţă, S. (2022). Characterization results of solutions in interval-valued optimization problems with mixed constraints. Journal of Global Optimization, 82(4), 951-964. https://doi.org/10.1007/s10898-021-01049-4

Tung, L. T., & Tam, D. H. (2022). Optimality conditions and duality for continuous-time programming with multiple interval-valued objective functions. Computational & Applied Mathematics, 41, 8. https://doi.org/10.1007/s40314-022-02059-y

Tung, L. T., & Tam, D. H. (2023). Necessary and sufficient optimality conditions for fuzzy variational problems of several dependent variables in terms of granular derivatives. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 31, 825-857.
https://doi.org/10.1142/S0218488523500381

Tùng, L. T., Khải, T. T., & Tùng, T. (2024). Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu hóa hàm tích phân mờ với ràng buộc hệ phương trình vi phân cấp một. Tạp chí Khoa học Đại học Cần Thơ, 60(CĐ. Khoa học tự nhiên), 20-31. https://doi.org/10.22144/ctujos.2024.333