Law of large numbers for a random walk with an external force

Lam Hoang Chuong * , Huynh Minh Dang , Le Truong Phat , Nguyen Van Kien , Trang Thi Hien and Le Hoai Nhan

* Corresponding author (lhchuong@ctu.edu.vn)

Article Sidebar

Full Text: PDF

Received: 07 Sep 2025
Revised: 29 Sep 2025
Accepted: 12 May 2026
Published: 17 Jun 2026
Title: Law of large numbers for a random walk with an external force
DOI: 10.22144/ctujos.2026.115
Views
29
Downloads
7
Crossref
Scopus
Google Scholar
Europe PMC
How to Cite
Chương, L. H., Đăng, H. M., Phát, L. T., Kiện, N. V., Hiền, T. T., & Nhân, L. H. (2026). Law of large numbers for a random walk with an external force. CTU Journal of Science, 62(3), 89-96. https://doi.org/10.22144/ctujos.2026.115
Issue
Vol. 62 No. 3 (2026)
Section
Natural Sciences

Abstract

This paper investigates random walks under the influence of an external force. Specifically, assuming that the state transition probabilities satisfy certain prescribed conditions, a version of the law of large numbers is established for the proposed model. In addition, the theoretical results are illustrated through numerical simulations implemented in the Python programming language.

Keywords: Law of large numbers, Markov operator, random walks, simulation

Tóm tắt

Mục tiêu của bài báo là nghiên cứu bước đi ngẫu nhiên với một lực ngoài tác động. Cụ thể, với xác suất chuyển trạng thái thỏa một số điều kiện cho trước, một dạng luật số lớn được chỉ ra trong mô hình đang xét. Đồng thời, các kết quả này cũng được mô phỏng thông qua ngôn ngữ lập trình Python.

Từ khóa: Bước đi ngẫu nhiên, luật số lớn, mô phỏng, toán tử Markov

Article Details

Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

References

Alili, S. (1999). Asymptotic behaviour for random walks in random environments. Journal of Applied Probability, 36, 334-349.
https://doi.org/10.1239/jap/1032374457

Billingsley, P. (1995). Probability and Measure (3rd edition). John Wiley, New York.

Cesàro, E. (1888). Sur la convergence des série. Nouvelles Annales de Mathématiques, 3(7), 49–59.

Chương, L. H., & Ba, D. T. B. (2017). Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm cho bước đi ngẫu nhiên trong một chiều. Tạp chí Khoa học Đại học Cần Thơ, (49), 73-78.
https://doi.org/10.22144/ctu.jvn.2017.010

Chương, L. H. (2021). Luật số lớn trong mô hình trò chơi không công bằng. Tạp chí Khoa học Đại học Cần Thơ, 57(2), 44-48.
https://doi.org/10.22144/ctu.jvn.2021.036

Chương, L. H., Lộc, T. P., Kim, L. M., & Tuyền, D. T. (2021). Định lý giới hạn trung tâm trong mô hình trò chơi công bằng. Tạp chí Khoa học Đại học Cần Thơ, 57(2), 39-43.
https://doi.org/10.22144/ctu.jvn.2021.035

Duong, T. B. B., & Lam, H. C. (2025). On the convergence of random walks in one dimensional space. Acta Mathematica Hungarica, 175(1), 174-184.
https://doi.org/10.1007/s10474-024-01497-w

Durrett R. (2019). Probability: Theory and Examples (5th edition). Cambridge University Press, New York.
https://doi.org/10.1017/9781108591034

Lawler, G. F., & Limic, V. (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press, New York.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511750854

Stolz, O. (1885). Vorlesungen ¨uber allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten. Leipzig: Teubners, 173–175.

Ross, S. (2010). Introduction to Probability Models (10th edition). Academic Press, Boston.
https://doi.org/10.1016/B978-0-12-375686-2.00007-8